¡Estamos encantados de iniciar la conversación sobre un tema que parece sacado de una clase de mates, pero que en realidad es súper útil y más fácil de lo que pinta! Quiero discutir cómo calcular la distancia entre dos puntos, ya sea en un plano cartesiano o en la vida real, como cuando quieres saber cuánto hay de tu casa al bar de la esquina. Me interesa saber si alguna vez te has liado con esto o si, como yo, crees que con una fórmula sencilla y un poco de práctica, se le coge el tranquillo. Vamos a meternos en faena con un lenguaje bien coloquial, ejemplos claritos y un par de diálogos para que esto sea tan ameno como rellenar un crucigrama.
Empiezo por decir que calcular la distancia entre dos puntos es como encontrar la línea recta más corta entre dos sitios, lo que en mates llaman una "línea recta" o hipotenusa si estás en un plano. Pienso que es como una pista de crucigrama que parece complicada, pero cuando tienes la fórmula, todo encaja. La herramienta estrella para esto es la **fórmula de la distancia**, que viene del teorema de Pitágoras. La fórmula es:
\[ \text{Distancia} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]
Si te suena a chino, no te rayes. Solo necesitas las coordenadas de los dos puntos (x₁, y₁) y (x₂, y₂), y con un par de cuentas, lo tienes. Vamos con un ejemplo para que lo pilles.
Consideramos que lo primero es saber dónde están tus puntos. Imagina que tienes dos puntos en un plano: A(2, 3) y B(5, 7). Las coordenadas son:
Comenzamos con la discusión de cómo meter esos números en la fórmula. Sustituimos:
\[ \text{Distancia} = \sqrt{(5 - 2)^2 + (7 - 3)^2} \]
Calculamos las diferencias:
\[ 5 - 2 = 3 \quad \text{y} \quad 7 - 3 = 4 \]
Elevamos al cuadrado:
\[ 3^2 = 9 \quad \text{y} \quad 4^2 = 16 \]
Sumamos:
\[ 9 + 16 = 25 \]
Y sacamos la raíz cuadrada:
\[ \sqrt{25} = 5 \]
¡La distancia entre A y B es 5 unidades! Fácil, ¿no?
Creemos que un buen truco es visualizar los puntos en un plano. Si dibujas A(2, 3) y B(5, 7), verás que formas un triángulo rectángulo, y la distancia es la hipotenusa. Si el resultado te parece raro (como 100 unidades para puntos cercanos), revisa las cuentas.
Me gustaría preguntar... ¿y si esto te suena a mates de otro planeta? Vamos con un diálogo entre dos colegas, Sara y Javi, que están intentando resolver un problema para un examen:
Sara: Javi, estoy flipando con esto de la distancia entre puntos. Me han dado A(1, 2) y B(4, 6). ¿Cómo lo hago?
Javi: ¡Tranquila, Sara! Pienso que es súper fácil. Usa la fórmula de la distancia: raíz cuadrada de (x₂ - x₁) al cuadrado más (y₂ - y₁) al cuadrado. Vamos con tus puntos.
Sara: Vale, pero... ¿qué números meto?
Javi: Mira, x₁ = 1, y₁ = 2, x₂ = 4, y₂ = 6. Entonces: raíz de (4 - 1)² + (6 - 2)². Eso es 3² + 4², o sea, 9 + 16 = 25. La raíz de 25 es 5.
Sara: ¿Entonces la distancia es 5?
Javi: ¡Exacto! Si quieres, dibuja los puntos en un papel para verlo mejor. Es como un triángulo rectángulo.
Sara: ¡Joder, qué claro lo explicas! Ya lo pillo.
Consideramos que con estos trucos, calcular la distancia entre dos puntos será coser y cantar:
Me interesa saber si quieres subir el nivel. Si los puntos están en un espacio tridimensional (con coordenadas x, y, z), la fórmula se amplía:
\[ \text{Distancia} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \]
Vamos con un ejemplo: puntos A(1, 2, 3) y B(4, 6, 7).
\[ \text{Distancia} = \sqrt{(4 - 1)^2 + (6 - 2)^2 + (7 - 3)^2} \]
\[ = \sqrt{3^2 + 4^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16 + 16} = \sqrt{41} \approx 6,4 \]
¡La distancia es unas 6,4 unidades! Es lo mismo que en 2D, pero añades la coordenada z.
Vamos con otro caso para que lo tengas chupado. Calcula la distancia entre C(-2, 1) y D(3, -4):
\[ \text{Distancia} = \sqrt{(3 - (-2))^2 + (-4 - 1)^2} \]
\[ = \sqrt{(3 + 2)^2 + (-5)^2} = \sqrt{5^2 + (-5)^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} \approx 7,07 \]
La distancia es unas 7,07 unidades. Fíjate que los números negativos no complican nada, porque al elevar al cuadrado todo se arregla.
Pienso que calcular la distancia entre dos puntos es como resolver un crucigrama: al principio parece un lío, pero con las pistas correctas, todo encaja. Estamos encantados de haber charlado sobre esto, y creemos que con estos ejemplos y consejos, lo tienes más que dominado. Si te pica la curiosidad, coge un par de puntos (en 2D o 3D) y haz las cuentas. ¡Es como un juego! ¿Te animas a probarlo? ¡Cuéntame cómo te va!